数海夜话：五次根号下的兄弟情与姐妹思
江南秋夜，凉风习习，苏家老宅的庭院中，桂花香正浓。一张石桌，四把藤椅，苏五震、苏六坎兄弟俩与苏七离、苏八兑姐妹俩围坐一处，桌上摊开一本泛黄的《九章算术》补遗，还有一张写满数字的宣纸。
“五哥，你今日提出的这个‘五次根号3200001至24300000’，究竟是何意？”苏七离轻抿一口清茶，眉目如画，却透着几分疑惑。
苏五震抚须一笑，目光炯炯：“七妹莫急。我近日研习《周髀算经》与西方传入之代数术，发现一个有趣之数域。3200001与24300000，看似寻常，实则暗藏玄机。”
苏六坎素来沉稳，此时插话道：“五弟，你且细说。我观24300000，似与3的幂次有关。3^5=243，若乘以10^5，便是24300000。而3200001……”他沉吟片刻，“3200000是32×10^5，加1得3200001，莫非是32×10^5 1？”
“六哥慧眼！”苏五震击节赞叹，“正是如此。32=2^5，故3200000=2^5×10^5=(2×10)^5=20^5。而24300000=3^5×10^5=(3×10)^5=30^5。因此，3200001=20^5 1，24300000=30^5。”
苏八兑，素来聪慧，此时轻声道：“原来如此！那五次根号3200001至24300000，便是求x，使得x^5介于20^5 1，与30^5之间。换言之，x介于20与30之间，但非整数。”
苏六坎，取过纸笔，迅速演算：“20^5=3200000，21^5=4084101，22^5=5153632，23^5=6436343，24^5=7962624，25^5=9765625，26^5=11881376，27^5=14348907，28^5=17210368，29^5=20511149，30^5=24300000。可见，21^5至30^5皆在3200001至24300000，共十个整数，的五次方落在此区间。”
苏八兑补充：“设f(x)=x^5-3200001，求f(x)=0之根。取初值x0=20，则x1=x0-f(x0)/f'(x0)=20-(20^5-3200001)/(5×20^4)=20-(3200000-3200001)/(5×160000)=20-(-1)/800000=20 0.00000125≈20.00000125。可见，3200001的，五次根号，极其接近20。”
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第6章 五次根号32十万1~243十万