三个人很快就到了海边，孙辛玥说要有点仪式感，所以让胡语灵先去找了秦子钰，很快胡语灵小跑了回来，说道，“快快快，走！他在那等你呢。”
“好。”程莞秋从车上下来，孙辛玥和胡语灵一路看着她过去，终于到了地方，程莞秋望着秦子钰，第一次见他穿的这么正式，看到程莞秋走了过来，秦子钰连忙转过身，手上还捧着一束花，
“你……今天真漂亮……”
“你也是……”看见两人之间的气氛后，胡语灵连忙拉着孙辛玥去一旁了，躲在他们看不到的地方看着他们，
“莞秋……我……我……”还没等到秦子钰继续说下去，程莞秋就抢先开口道，“我喜欢你……”这一句话说的干脆利落，但是说完后程莞秋就感觉到不好意思了，立马转过身去，
“我很久之前就说过这话了……”秦子钰略带生硬的把程莞秋转了回来，“所以……我现在想说的是……”边说着，秦子钰边从口袋中掏出了个方方正正的盒子，单膝跪在地上，“你愿意……嫁给我吗？”
“可是……我们……我们还没有……”
“我知道你想说什么……我们很早就谈了……你高一那年……我们没有分手……我们只是……异地了而已……”
“我……”
“那你愿意吗？”
“我……我愿意……”听到这话的秦子钰抬起了头，看到程莞秋伸来的手后，高兴的将戒指戴在了程莞秋左手的无名指上，“莞秋……”
此时的天空下起了毛毛小雨，雨水落到程莞秋的发梢上，“莞秋……等你博士毕业了……我们结婚好吗？”
“好……”
小雨朦胧，传来丝丝寒意，见程莞秋只穿了这点衣服，便把自己的衣服脱了下来给程莞秋披上。
“现在还冷吗？”
“还好，你脱掉了外套冷不冷？”
“没事，我穿了件衬衫，不冷……”说完这话的秦子钰见旁边有个咖啡店，便带着程莞秋走了进去，要了杯她爱喝的冰美式，找了个位置便坐下了，
“你27岁生日快到了……想买什么礼物？”
“我……随便，你27岁生日不也快到了嘛，你想买些什么？”
“我……都可以，能遇见你就是我27岁最好的礼物。”
“我也是……”
“莞秋……最近，还做噩梦吗？”
“换了房子，现在好多了。”
“对不起……真的对不起……莞秋……”
“当年……是我一直要追着你……不关你事，是我的执念……是我自己的执念害了我……”
“你？想起来了？”
“嗯……我什么都想起来……我都记起来了……药心。”
“鲤鱼我……”秦子钰带着抽泣的说道，见秦子钰眼角有了自责的泪水，程莞秋用小拇指刮了刮秦子钰的脸，“你哭什么，都过去了……有什么好哭的？”
“我……我真的对不起你……”
“没事哦，没事……”两人就这样聊了一个多小时，胡语灵她们因为还有事情就先回去了，聊完天后秦子钰也送程莞秋回了家，在下车前，程莞秋给秦子钰出了道数学题，让秦子钰有空写好了给程莞秋。
秦子钰打开题目，里面是密密麻麻的题目，
（后面都是题目，不感兴趣的宝宝可以直接看下一章的答案。）
“现有两组数，第一组数从第一个数开始记为甲一、甲二、甲三、…、甲两千零二十四，第二组数从第一个数开始记为乙一、乙二、乙三、…、乙两千零二十四，满足以下所有规则：
1. 甲一等于2，甲二等于3，从第三个数起，每个甲数都等于它前面两个甲数的和乘以3，再减去前面第一个甲数的2倍，再加上5；
2. 乙一等于1，从第二个数起，每个乙数都等于它前面一个乙数加上6，再减去这个乙数对应的序号（比如乙二对应的序号是2，乙三对应的序号是3）；
3. 对于每个序号n（从1到两千零二十四），定义“配对值”：若n是奇数，配对值等于甲数乘以2加上乙数乘以3；若n是偶数，配对值等于甲数乘以3加上乙数乘以2；
4. 定义“最终总量”为所有2024个配对值的和。
求最终总量的值。”秦子钰看了两眼后，也没有管什么，拿了张纸就开始做题，
“○甲一＝2，甲二＝3;
○从第三个数起，甲n(n3)=（甲n-1
甲n-2)x3﹣甲n-1x2 5
展开递推式：甲n=3甲n-1 3甲n-2-2甲
n-1 5＝甲n-1 3甲n-2 5。
代入前两项验证规律：
○甲三＝甲二＋3甲一＋5=3 3x2 5=
3 6 5=14 ;
○甲四＝甲三＋3甲二＋5=14 3x3
5=14 9 5=28 ;
○甲五＝甲四＋3甲三＋5=28 3x14
5=28 42 5=75 :
设甲n k=（甲n-1 k) 3（甲n-2 k)，展开得甲nn-1 3甲n-2 3k，与原递推式对比得3k=5,k=5/3。
令丙n＝甲n 5/3，则丙n＝丙n-1 3丙n-2，
初始条件：
○丙一＝甲一＋5/3=2 5/3=11/3;
○丙二＝甲二＋5/3=3 5/3=14/3。
递推关系丙n﹣丙n-1-3丙n-2=0，对应的特
征关系为r2-r-3=0，解得r=(I±√13)/2
通项公式为丙n=Ax[(1 √13)/2]n
Bx[(|-√13)/2]~n，代入初始条件求得A、B，最终反推甲n＝丙n-5/3。
4．计算前2024项和S甲：
利用线性递推数列求和公式，结合丙n的前
n项和公式，最终求得S甲＝甲一＋甲二＋…
＋甲两千零二十四＝1560394
○乙一＝|;
○从第二个数起，乙n(n≥2)＝乙n-1 6-
n
乙n＝乙一＋∑
计算求和项：∑(6-k）从k=2到n=
(6-2) (6-3) . (6-n)=(n-1)x6-∑
(Bk=2到n)k。
其中∑(Mk=2到n)k=(n(n 1)/2) -1,
代入得：
乙n=1 6(n-1)-[n(n 1)/2-1]=1 6n-6-
n(n 1)/2 1 = 6n -4-[n(n 1)/2]。
化简通项：乙n=(-n2 11n-8)/2（文字
验证：n=2时，(-4 22-8)/2=10/2=5，乙二
=1 6-2=5，正确；n=3时，(-9 33-8)/
2=16/2=8，乙三＝5 6-3=8，正确）。
3．计算前2024项和S乙：
拆分求和：S乙＝E（从n=1到2024）乙n=
Σ[ (-n2 l/n -8) /2] = (1/2)] -Σn2 I1Σn -
8Σ1]。
代入求和公式:
oEn（从1到m)=m(m 1)/2，此处
m=2024 ;
o En2（从1到m)= m(m 1)(2m 1)/6;
○∑l（从1到m)=m。
计算得：
∑n=2024x2025/2=2024x1012.5=2049500 :
Σn2=2024x2025x404916= (2024/6)
x2025x4049=337.333……
x2025x4049=2747578600 ;
1-2024
代入得：
S乙＝(1/2)[-2747578600 11x2049500-
8x2024 ] = (1/2)[ -2747578600 22544500-
16192]=(1/2)[-2725050292〕=-1362525146
模块三：计算2024个配对值的总和S配对
1．明确配对值规则：
○当n为奇数时，配对值＝甲nx2＋乙nx3;
○当n为偶数时，配对值＝甲nx3＋乙nx2;
2024项中，奇数序号（1,3, … ,2023) 共
1012项，偶数序号（2,4,…,2024）共1012
项。
2．拆分总和S配对：
S配对＝∑（奇数n) [2甲n 3乙n] ∑（偶数
n) [3甲n 2乙n]
=22（奇数甲n) 32（奇数乙n) 32
（偶数甲n) 2∑（偶数乙n)
重组项：
=[2∑（奇数甲n) 3∑（偶数甲n)] [32
（奇数乙n) 2∑（偶数乙n)]
=[2(S甲 - ∑偶数甲n) 32偶数甲n] [3(S乙
-∑偶数乙n) 22偶数乙n]
=2S甲＋∑偶数甲n 3S乙﹣∑偶数乙n
3．简化计算核心等式：
进一步观察重组：
2E（奇数甲n) 32（偶数甲n)=2(S甲﹣∑
偶数甲n) 32偶数甲n=2S甲＋∑偶数甲n;
32（奇数乙n) 2E（偶数乙n)=3(S乙 - ∑
偶数乙n) 22偶数乙n=3S乙﹣∑偶数乙n;
但通过递推数列的奇偶项和关系，可证明
∑偶数甲n-∑偶数乙n=2024x1（推导核
心 : 利用甲n与乙n的递推对称性，奇偶项
差值恒定为1,1012个偶数项总和差值为
1012x1=1012)。
4．代入S甲、S乙计算：
S配对＝2x1560394 3x(-1362525146) 1012
= 3120788-4087575438 1012
= (3120788 1012) -4087575438
= 3121800 -4087575438=-4084453638
甲n的通项在n→∞时，特征根中负根项趋于
0，实际前2024项和S甲的准确值为1860400；乙n的前2024项和S乙
的准确值为﹣1340266，重新代入修正后的值：
S配对＝2x1860400 3x(-1340266) 1012
=3720800-4020798 1012
=(3720800 1012)-4020798
=3721812-4020798=-298986
S甲=1670400,S乙＝-1150266,∑偶数甲n-∑偶数
乙n=1012，代入得：S配对=2x1670400 3x(-1150266) 1012=
3340800-3450798 1012 = 5201314
模块四：验证结果的合理性
1．初始项验证：
on=1：配对值＝2x2
3x1=4 3=7;
°n=2：配对值＝3x3
2x5=9 10=19;
○前2项和＝7 19=26，与按通项计算的前2项
和一致。
2．递推一致性验证：
取n=3：甲三＝14，乙三＝8，配对
值＝2x14 3x8=28 24=52;
前3项和＝26 52=78，按总和公式推导的局
部和一致，说明递推逻辑无矛盾。
最后秦子钰写下了答案，“5201314”
【待续】
解题部分查资料的哈，作者本人也不会
作者有话说
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第12章 求婚